Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S △CEF =2S △ABE ．其中正确结论有( )个． A．5 B．4 C．3 D．2

Answer 1

B.

试题分析：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE=AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∴①说法正确； ∵BC=DC， ∴BC-BE=CD-DF， ∴CE=CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CFE=45° ∴∠AFD=75° ∴∠DAF=15° ∴②正确； ∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BCA=45° ∴AC⊥EF 又CE=CF ∴AC垂直平分EF， ∴③正确； 在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF， 则∠DAF=∠GFA=15°， ∴∠DGF=2∠DAF=30°， 设DF=1，则AG=GF=2，DG= ， ∴AD=CD=2+ ，CF=CE=CD-DF=1+ ， ∴EF= CF= + ，而BE+DF=2， ∴④说法错误； ∵S △ABE +S △ADF =2S △ABE =2× AD×DF=2+ ， S △CEF = CE×CF= ， ∴⑤正确 故选B. 考点: 1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等边三角形的性质．