已知函数f(x)=x 2 +ax-lnx,a∈R.(Ⅰ)若a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ
已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(Ⅰ)若a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的...
已知函数f(x)=x 2 +ax-lnx,a∈R.(Ⅰ)若a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(Ⅲ)令g(x)=f(x)-x 2 ,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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中色778
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(I)a=0时,曲线y=f(x)=x 2 -lnx, ∴f′(x)=2x- ,∴g′(1)=1,又f(1)=1 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x-y=0. (II) f ′ (x)=2x+a- = ≤0 在[1,2]上恒成立, 令h(x)=2x 2 +ax-1,有 得 , 得 a≤- (II)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3, g ′ (x)=a- = ①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x) min =g(e)=ae-1=3, a= (舍去), ②当 0< <e 时,g(x)在 (0, ) 上单调递减,在 ( ,e] 上单调递增 ∴ g(x ) min =g( )=1+lna=3 ,a=e 2 ,满足条件. ③当 ≥e 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x) min =g(e)=ae-1=3, a= (舍去), 综上,存在实数a=e 2 ,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3. |
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