Question

（2010?嘉定区三模）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点（与点B、C不重合），连接AE交对角线BD于点F

（2010?嘉定区三模）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点（与点B、C不重合），连接AE交对角线BD于点F，AE的延长线与DC的延长线相交于点G，连接FC．求证：（1）∠BEF=∠DCF；（2）AF2=FE?FG．

Answer 1

解：（1）∵在正方形ABCD中，对角线BD，
∴∠BDA=∠BDC，
在△ADF与△CDF中，

AD＝CD ∠BDA＝∠BDC DF＝DF

，
∴△ADF≌△CDF，
∴∠DAF=∠DCF，
∵∠DAF=∠BEF，
∴∠BEF=∠DCF；

（2）∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠CGE，
∵∠BEF=∠DCF；
∵∠BAE=90°-∠DAF，∠FCE=90°-∠DCF，
∴∠BAE=∠FCE，
∴∠CGE=∠FCE，
∴△FCE∽△FGC，
∴

FC

EF

＝

FG

FC

，
∵FC=AF，
∴AF²=FE?FG．