Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为35．（Ⅰ）求椭圆C的

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为35．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．

Answer 1

（Ⅰ）由右焦点到直线l₁：3x+4y=0的距离为

3

5

，得

3c

32+42

＝

3

5

，解得c=1，
又e=

c

a

＝

1

2

，所以a=2，b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线l₂：y=kx+m代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

＝1得到：
（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
因此x1+x2＝

?8km

4k2+3

，x1x2＝

4m2?12

4k2+3

，
所以AB中点M（

?4km

4k2+3

，

3m

4k2+3

），
又M在直线l₁上，得3×

?4km

4k2+3

+4×

3m

4k2+3

=0，
因为m≠0，所以k=1，故x1+x2＝

?8m

7

，x1x2＝

4m2?12

7

，
所以|AB|=

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