（2013?南充模拟）如图，四边形ABCD是矩形，将△BCD沿BD折叠为△BED，连接AE．（1）求证：四边形ABDE是等
（2013?南充模拟）如图，四边形ABCD是矩形，将△BCD沿BD折叠为△BED，连接AE．（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；（2）若∠BDC=60°，BC=6，求A...
（2013?南充模拟）如图，四边形ABCD是矩形，将△BCD沿BD折叠为△BED，连接AE．（1）求证：四边形ABDE是等腰梯形；（2）若∠BDC=60°，BC=6，求AE的长．
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（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC，
∵∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠OBD，
∴OB=OD，
∵AD=BC=BE，
∴OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠AOE=∠BOD，
∴∠OAE=∠ODB，
∴AE∥BD，
∵AB=CD=DE，
∴四边形ABDE是等腰梯形；
（2）∵Rt△BCD中∠BDC=60°，BC=6，
∴∠DBC=30°，CD=
=
=2
，BD=2CD=4
，
∵△BED由△BCD反折而成，
∴∠CBD=∠DBK=30°，
∴∠ABK=30°，
在Rt△ABK中，
∵∠ABK=30°，AB=CD=2
，
∴AK=AB?tan30°=2
×
=2，
∴DK=AD-AK=6-2=4，
∵由（1）可知四边形ABDE是等腰梯形，
∴AK=EK，BK=DK，△AKB∽△BKD，
∴
=
，即
=
∴AD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC，
∵∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠OBD，
∴OB=OD，
∵AD=BC=BE，
∴OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠AOE=∠BOD，
∴∠OAE=∠ODB，
∴AE∥BD，
∵AB=CD=DE，
∴四边形ABDE是等腰梯形；
（2）∵Rt△BCD中∠BDC=60°，BC=6，
∴∠DBC=30°，CD=
| BC |
| tan60° |
| 6 | ||
|
| 3 |
| 3 |
∵△BED由△BCD反折而成，
∴∠CBD=∠DBK=30°，
∴∠ABK=30°，
在Rt△ABK中，
∵∠ABK=30°，AB=CD=2
| 3 |
∴AK=AB?tan30°=2
| 3 |
| ||
| 3 |
∴DK=AD-AK=6-2=4，
∵由（1）可知四边形ABDE是等腰梯形，
∴AK=EK，BK=DK，△AKB∽△BKD，
∴
| AK |
| DK |
| AE |
| BD |
| 2 |
| 4 |
| AE | |
4
|
