Question

两道高二关于椭圆的题

1.把椭圆x^2/9+y^2/4=1上每个点的横坐标不变纵坐标缩短为原来的一半，所得曲线的方程是什么？（个人答案是x^2/9+y^2/16=1，但标准答案是x^2/9+y^2=1，缩短为原来的一半不是1/2y么，请帮我详细解答下）
2.一动圆过定点A（1,0），且与定圆（x+1）^2+y^2=16相切，则动圆圆心轨迹方程是？
请高手解答下过程。

Answer 1

1.设椭圆上任一点为（x。,y。），变换后的点为（x,y），则x。=x，y。=2y
即椭圆上任一点为（x,2y）代入椭圆方程x^2/9+y^2/4=1，得x^2/9+y^2=1，因此标准答案是对的。
2.由题，定圆圆心（-1,0），半径为4，易知定点A（1,0）在定圆内，所以与定圆的关系应该是内切，由圆心距等于两半径差，故设动圆圆心为（x,y），
则根号下（x+1）^2+y^2=4-根号下（x-1）^2+y^2，
整理得，x^2/4+y^2/3=1，是一个椭圆。

Answer 2

（一）设点P(m,n)是所得曲线上的任一点，则由题设可知，点Q(m,2n)是原椭圆上的一点，∴应有(m²/9)+(4n²/4)=1.即(m²/9)+n²=1.∴新曲线上的任意一点P(m,n)满足(x²/9)+y²=1.∴所得曲线方程为(x²/9)+y²=1.(二）易知，定圆E的圆心E(-1,0),半径R=4.由题设可知，动圆与定圆内切，设动圆圆心为M,半径为r,易知，ME+MA=4.===>由椭圆定义可知，动圆圆心的轨迹是以点(-1,0),(1,0)为焦点，长半轴为2的椭圆，∴轨迹方程为(x²/4)+(y²/3)=1.