Question

袋中装有大小完全相同,标号分别为1,2,3,4....,9的9个球,先要从袋中随机取出3个球,

袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3,4，5....,9的9个球，先要从袋中随机取出3个球，设ξ为这3个球的标号相邻的组数，则ξ的期望是

Answer 1

E(ξ)＝2/3

3个球，最多有两组标号相邻
则，ξ＝0、1、2

9个球中任取3个球的取法＝C(9，3)＝84

ξ＝2时，取出的3个球，有2组标号相邻
即，3个球的标号是相连的
取法＝7种（123、234、345、456、567、789）
概率＝7/84＝1/12

ξ＝1时，取出的3个球，有1组标号相邻
（12、23、34、45、56、67、78、89）
标号相邻的两个球取到12和89时，第三个数有6种选择
标号相邻的两个球取到其它6组时，第三个数有5种选择
总取法＝2×6＋6×5＝42种
概率＝42/84＝1/2

ξ＝0时（求ξ的期望时可以不求）
取法＝任取3个球的取法－ξ＝1的取法－ξ＝2的取法
＝84－7－42
＝35
概率＝35/84＝5/12

综上：E(ξ)＝0×(5/12)＋1×(1/2)＋2×(1/12)＝2/3

所以，ξ的期望是2/3

追问

这是较死板的方法，请问有没有好点的方法，比如：插空法

追答

有啊，怕没人看，当时就没写

取出3个球后，还剩下6个球，有7个空

ξ＝0时，取出的3个球标号都不相邻
相当于在7个空中选了3个（每个空放一个球）
取法＝C(7，3)＝35
概率＝35/84＝5/12

ξ＝1时，取出的3个球中，有两个标号相邻
将相邻的2个看作一组，剩下一个看作一组
相当于在7个空中选了2个，（一个空放标号相邻的2个球，一个空放剩下的1个）
取法＝A(2，2)×C(7，2)＝42
概率＝42/84＝1/2

ξ＝2时，取出的3个球标号相邻
将3个看作一组
相当于在7个空中选了1个，（标号相连的3个球放在一个空中）
取法＝C(7，1)＝7
概率＝7/84＝1/12