Question

高二数学、椭圆、文科题目~~~求详细解~~谢谢

已知椭圆长轴长｜A1A2｜=6，｜F1F2｜=4√2，过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M、N两点，设直线MN的斜率为k,问k取何值时，｜MN｜等于椭圆的短轴长？

Answer 1

有题知，有左焦点的椭圆，焦点在x轴上，a=3，c=2√2，则b=1，方程为
x^2／9+y^2=1,过左焦点且斜率为k的直线MN的方程为：y=k(x+2√2),代入椭圆方程整理得，（1／9+k^2）x^2+4√2×k^2x+8k^2-1=0,有韦达定理得，
x1+x2=-4√2×k^2／(k^+1／9)....①，x1x2=(8k^2-1)／(k^+1／9)....②。有弦长公式得
|MN|=√（k^+1）×|x2-x1|=√(k^+1)√[(x1+x2)^2-4x1x2]=短轴长=2
把①②代入整理得k=±√3／3，即k=±√3／3时，|MN|的值等于短轴的长。

Answer 2

令方程为x2/a2 + y2/b2 = 1
｜A1A2｜=6=2a
得 a=3

｜F1F2｜=4√2=2c
得 c=2√2

求出b，求出椭圆方程

因为直线过做焦点，则可设 y = k(x-2√2)
联立
： 椭圆方程
y = k(x-2√2)

消去y 得：二元一次方程
设 两交点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)
由韦达定理可得 x1+x2=-a/b x1x2=c/a
由弦长公式可得 √1+k2√(x1+x2)-4x1x2 = b
则可求出 k

还有一种可能就是焦点不在x轴上，所以k应当有两个值；过程自己想，答案我就不算出了。