Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

Answer 1

（1）∵∠APD=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADP∽△ABC，（1分）
∴

PD

AP

=

BC

AC

=

1

2

，（1分）
∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，
∴△EPD∽△EAP．
∴

PE

AE

=

PD

AP

=

1

2

．（1分）
∴AE=2PE．（1分）

（2）由△EPD∽△EAP，得

DE

PE

=

PD

AP

=

1

2

，
∴PE=2DE，（1分）
∴AE=2PE=4DE，（1分）
作EH⊥AB，垂足为点H，
∵AP=x，
∴PD=

1

2

x，
∵PD∥HE，
∴

HE

PD

=

AE

AD

=

4

3

．
∴HE=

2

3

x．（1分）
又∵AB=2

5

，y=

1

2

（2

5

-x）?

2

3

x，即y=-

1

3

x²+

2 5

3

x．（1分）
定义域是0＜x＜