Question

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列

已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形． （1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长是____________；（2）若某函数是反比例函数 ，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，则m的值为_________，反比例函数解析式_________________。 ．





Answer 1

（1） 或  ；（2）1，y=

解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时， ∵OC=0D=1， ∴正方形ABCD的边长CD= ； ∵当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时， ∴设正方形的边长为a， ∴3a=CD= ． ∴a= ， ∴正方形边长为  ， ∴一次函数y=x+1图象的伴侣正方形的边长为 或  ； （2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴， ∵AB=AD=BC，∠DAE=∠OBA=∠FCB， ∴△ADE≌△BAO≌△CBF． ∵m＜2， ∴DE=OA=BF=m，OB=CF=AE=2-m， ∴OF=BF+OB=2， ∴C点坐标为（2-m，2）， 设反比例函数的解析式为：， ∵D（2，m），C（2-m，2） ∴ ∴由②得：k=2m③， ∴把k=2m代入①得：2m=2（2-m）， ∴解得m=1，k=2， ∴反比例函数的解析式为y= ．