已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,

已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实... 已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对?x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围. 展开
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橙khhbw680
2014-12-23 · 超过67用户采纳过TA的回答
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(Ⅰ)在区间(0,+∞)上, f′(x)=a-
1
x
=
ax-1
x
.…(1分)
①若a≤0,则f′(x)<0,f(x)是区间(0,+∞)上的减函数;     …(3分)
②若a>0,令f (x)=0得x=
1
a

在区间(0,
1
a
)上,f (x)<0,函数f(x)是减函数;
在区间 (
1
a
,+∞)
上,f (x)>0,函数f(x)是增函数;
综上所述,①当a≤0时,f(x)的递减区间是(0,+∞),无递增区间;
②当a>0时,f(x)的递增区间是 (
1
a
,+∞)
,递减区间是 (0,
1
a
)
.…(6分)
(II)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f (1)=0
解得a=1,经检验满足题意.…(7分)
由已知f(x)≥bx-2,则
x-1-lnx
x
≥b
       …(8分)
g(x)=
x-1-lnx
x
=1-
1
x
-
lnx
x
,则 g (x)=-
1
x 2
-
1-lnx
x 2
=
lnx-2
x
      …(10分)
易得g(x)在(0,e 2 ]上递减,在[e 2 ,+∞)上递增,…(12分)
所以g(x) min = g( e 2 )=1-
1
e 2
,即 b≤1-
1
e 2
.                   …(13分)
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