Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处。 （1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）E（3，1）；F（1，2）；
（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，所以EF= ， 设点P的坐标为（0，n），其中n＞0， 因为顶点F（1，2）， 所以设抛物线的解析式为y=a（x-1） 2 +2（a≠0）， ①如图1，当EF=PF时，EF 2 =PF 2 ， 所以1 2 +（n-2） 2 =5，解得n 1 =0（舍去），n 2 =4， 所以P（0，4）， 所以4=a（0-1） 2 +2，解得a=2， 所以抛物线的解析式为y=2（x-1） 2 +2； ②如图2，当EP=FP时，EP 2 =FP 2 ， 所以（2-n） 2 +1=（1-n） 2 +9，解得n=- （舍去）； ③当EF=EP时，EP= ＜3，这种情况不存在。 综上所述，符合条件的抛物线为y=2（x-1） 2 +2。
（3）存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小。 如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′， 连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N， 则点M、N就是所求， 所以E′（3，-1）、F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′， 所以BF′=4，BE′=3， 所以FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′= =5， 又因为EF= ， 所以FN+MN+ME+EF=5+ ， 此时四边形MNFE的周长最小值为5+ 。