Question

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{an+1-an}是等比数列；（Ⅱ）求

已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{an+1-an}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵a_n+2=3a_n+1-2a_n，
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴

an+2?an+1

an+1?an

=2（n∈N^*）．
∵a₁=1，a₂=3，
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=2为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=2ⁿ-1（n∈N^*）．