Question

已知函数f（x）=x3-3ax-1，a≠0（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f

已知函数f（x）=x3-3ax-1，a≠0（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

Answer 1

解析：（1）f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时，由f′（x）＞0解得x＜?

a

或x＞

a

；
由f′（x）＜0解得?

a

＜x＜

a

，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为(?∞，?

a

)，(

a

，+∞)；
f（x）的单调减区间为(?

a

，

a

)．
（2）因为f（x）在x=-1处取得极大值，
所以f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．
由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=-3．
因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，
结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（-3，1）．