已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0)(c>0)到圆C:(x-2)2+(y-4)2=1上任意一点距
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0)(c>0)到圆C:(x-2)2+(y-4)2=1上任意一点距离的最大值为6,且过椭圆右焦点F2(c...
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0)(c>0)到圆C:(x-2)2+(y-4)2=1上任意一点距离的最大值为6,且过椭圆右焦点F2(c,0)与上顶点的直线与圆O:x2+y2=12相切.(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l:y=-x+m与椭圆E交于A,B两点,当以AB为直径的圆与y轴相切时,求m的值.
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(1)由题意,
+1=6,
∵c>0,∴c=1,
过椭圆右焦点F2(c,0)与上顶点的直线方程为
+
=1,即bx+y-b=0,
∵过椭圆右焦点F2(c,0)与上顶点的直线与圆O:x2+y2=
相切,
∴
=
,
∴b=1,
∴a=
,
∴椭圆E的方程为
+y2=1;
(2)直线l:y=-x+m与椭圆E联立可得3x2-4mx+2m2-2=0,△>0,得m2<3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=
,
∴AB的中点横坐标为
,
∵以AB为直径的圆的半径为r=
(?c?2)2+42 |
∵c>0,∴c=1,
过椭圆右焦点F2(c,0)与上顶点的直线方程为
x |
1 |
y |
b |
∵过椭圆右焦点F2(c,0)与上顶点的直线与圆O:x2+y2=
1 |
2 |
∴
|?b| | ||
|
| ||
2 |
∴b=1,
∴a=
2 |
∴椭圆E的方程为
x2 |
2 |
(2)直线l:y=-x+m与椭圆E联立可得3x2-4mx+2m2-2=0,△>0,得m2<3.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
4m |
3 |
2m2?2 |
3 |
∴AB的中点横坐标为
2m |
3 |
∵以AB为直径的圆的半径为r=
|