如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，...
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（3）若AB=2，求二面角B-AE-B1的平面角的余弦值．
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（1）证明：连接A1D，B1C，∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，
∴A1D⊥AD1，
∵A1B1⊥平面A1ADD1，
∴AD1⊥A1B1，
∵A1D∩A1B1=A1，∴AD1⊥平面A1B1CD，
∵B1E?平面A1B1CD，
∴B1E⊥AD1；
（2）解：存在AA1的中点P，使得DP∥平面B1AE，证明如下：
取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，
则PQ∥A1B1，且PQ=
| 1 |
| 2 |
∵DE∥A1B1，且DE=
| 1 |
| 2 |
∴四边形PQDE为平行四边形，∴PQ∥DE
又PD?平面AB1E，QE?平面AB1E
∴PD∥平面AB1E
此时AP=
| 1 |
| 2 |
（3）解：因为AB⊥AA1，AB⊥AD，AA1⊥AD，建立如图所示坐标系
则A（0，0，0），A1（0，0，1），B（2，0，0），B1（2，0，1），E（1，1，0）
∵AA1⊥平面ABCD，
∴平面ABE的一个法向量
| n1 |
设平面AEB1的法向量为
| n2 |
| AE |
| AB1 |
∵由
|
