Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求PM?PN的最小值．

Answer 1

解：（1）由题可知F(

p

2

，0)，则该直线方程为：y＝x?

p

2

，…（1分）
代入y²=2px（p＞0）得：x2?3px+

p2

4

＝0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有x₁+x₂=3p…（3分）
∵|MN|=8，∴x₁+x₂+p=8，即3p+p=8，解得p=2
∴抛物线的方程为：y²=4x．…（5分）
（2）设l方程为y=x+b，代入y²=4x，得x²+（2b-4）x+b²=0，
∵l为抛物线C的切线，∴△=0，
解得b=1，∴l：y=x+1…（7分）
由（1）可知：x₁+x₂=6，x₁x₂=1
设P（m，m+1），则

PM

＝(x1?m，y1?(m+1))，

PN

＝(x2?m，y2?(m+1))
∴

PM

?

PN

＝(x1?m)(x2?m)+[y1?(m+1)][y2?(m+1)]
=x1x2?m(x1+x2)+m2+y1y2?(m+1)(y1+y2)+(m+1)2
∵x₁+x₂=6，x₁x₂=1，(y1y2)2＝16x1x2＝16，y₁y₂=-4，y12?y22＝4(x1?x

Answer 2

jdhcgvnc 5 2 f к· ㏄ ywpj
zvcdsr
hrii
tjqbnno
sjlu
req