Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，求以下问题。

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，负根号5）且方向向量为向量a=(-2,根号5)的直线l交椭圆C于A,B两点，交x轴于M点，又向量AM=2倍向量MB
1.求直线l的方程
2.求椭圆C长轴取值的范围
谢谢啦...要过程哟....

Answer 1

解：(1)直线l的方向向量是(-2,√5)
∴直线l的斜率为-√5/2
又直线经过点(3,-√5)
∴直线方程为√5x+2y-√5=0

(2)设A(xA,yA),B(xB,yB)
xA²/a²+yA²/b²=1.....①
xB²/a²+yB²/b²=1.....②
由①-②：-√5/2=-b²(xA+xB)/a²(yA+yB)....③
将直线l方程代入椭圆方程得
(b²+5/4a²)x²-5/2a²x+5/4a²-a²b²=0....④
判别式Δ>0,由此得
4b²+5a²>5,亦即a²>1-4/5b².....⑤
∴a²>1-4/5a²，a>√5/3
又M点坐标为(1,0),根据定比分点公式有
xA+2xB=3,yA=-2yB
∴③式即√5/2=b²(xB-3)/a²yB
√5/2a²yB=b²(xB-3)
xB=[5/4a²+3b²]/[5/4a²+b²]
=1+2b²/(5/4a²+b²)
=1+2/(5/4t+1)
t=a²/b²，t∈(1,+∞)
∴1<xB<17/9,又易知xB<a,∴1<a<17/9
由此得到长轴a的取值范围为(1,17/9)