Question

高中不等式的几道题

1.A、B、C都是锐角，且sinA=1\3,tanB=根号2，cosC=3\4,比较A、B、C的大小
2.（以b为底 1\b 的对数） 小于 （以a为底 1\b 的对数）小于 （以a为底 b 的对数）
求a,b的取值范围
答案是 0小于a小于b小于1
3.若f(x)=ax*x-c满足 -4小于等于f(1)小于等于-1 -1小于等于f(2)小于等于5
求f(3)的取值范围
4.已知a*b大于0，比较 三次根下a-三次根下b 和 三次根下（a-b） 的大小

麻烦各位了

Answer 1

1.A、B、C都是锐角，且sinA=1\3,tanB=根号2，cosC=3\4,比较A、B、C的大小
要把三角函数都变成一种函数形式就好比较了：
A、B、C都是锐角，
sinA=1/3,conA=√(1-1/9)=2√2/3≈2*1.414/3=0.943,
tanB=√2,secB=√(1+2)=√3,conB=1/secB=√3/3≈1.732/3≈0.5773,
cosC=3/4=0.75,
在第一象限内，角度越小con值越大，
conA≈0.943>cosC=0.75>conB≈0.5773,
A<C<B;

2.lg b(1/b） < lg a(1/b）< lg a (b）,
-1=lg b(1/b)< -lg a(b）< lg a (b）,
-1< -lg a(b）;-lg a(b）< lg a (b）,
由 lg a(b)< 1 = lg a（a),
如果 0<a<1,log a(x)是减函数，lg a(b)< lg a（a),b>a,
或者 a>1,log a(x)是增函数，lg a(b)< lg a（a),b<a。

由 -lg a(b）< lg a (b）,2 lg a(b）>0,lg a(b)>0=lg a(1),
对于 0<a<1,log a(x)是减函数，lg a(b)> lg a（1),0<b<1;
或者 a>1,log a(x)是增函数，lg a(b)> lg a(1),b>1。

总结：a,b的取值范围:
0<a<1,b>a 与 0<a<1，0<b<1 合并为：0<a<b<1;
或者 a>1,b<a 与 a>1,b>1 合并为：a>1,a>b>1。

3.若f(x)=ax*x-c满足 -4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，
求f(3)的取值范围。
-4≤f(1)=a-c≤-1，-1≤f(2)=4a-c≤5，
a-c≥-4,
a-c≤-1，
4a-c≥-1,
4a-c≤5，
(4a-c)-(a-c)≥(-1)-(-1),【大的减去小的 大于 小的减去大的】
3a≥0,
a≥0;
(4a-c)-(a-c)≤(5)-(-4),【小的减去大的 小于 大的减去小的】
3a≤9,
a≤3;
0≤a≤3;

4a-4c≥-16,
4a-4c≤-4，
4a-c≥-1,
4a-c≤5，
(4a-c)-(4a-4c)≥(-1)-(-4),【大的减去小的 大于 小的减去大的】
3c≥3,
c≥1;
(4a-c)-(4a-4c)≤5-(-16),【小的减去大的 小于 大的减去小的】
3c≤21,
c≤7.
1≤c≤7.
f(3)=9a-c,
0≤a≤3,0≤9a≤27,
1≤c≤7,
0-7≤9a-c≤27-1,
-7≤f(3)=9a-c≤26.

4.已知a*b>0，比较 a^(1/3)-b^(1/3) 和 (a-b)^(1/3) 的大小.
a*b>0，a>0,b>0; 或者 a<0,b<0,

现在把[a^(1/3)-b^(1/3)]^3 与 [(a-b)^(1/3)]^3 进行比较：
[a^(1/3)-b^(1/3)]^3 =a-3a^(2/3)b^(1/3)+3a^(1/3)b^(2/3)-b,
[(a-b)^(1/3)]^3 =a-b,
[a^(1/3)-b^(1/3)]^3 - [(a-b)^(1/3)]^3 =
= -3a^(2/3)b^(1/3)+3a^(1/3)b^(2/3),
讨论 -3a^(2/3)b^(1/3)+3a^(1/3)b^(2/3)的正负，就能够知道其大小。

（1）、a>0，b>0，
-3a^(2/3)b^(1/3)+3a^(1/3)b^(2/3)=3a^(1/3)b^(1/3)[b^(1/3)-a^(1/3)],
如果 b>a>0,其差是正值，前者[a^(1/3)-b^(1/3)]^3 大于 后者[(a-b)^(1/3)]^3，也即前者a^(1/3)-b^(1/3)大于后者(a-b)^(1/3)；
如果 a>b>0,其差是负值，前者[a^(1/3)-b^(1/3)]^3 小于 后者[(a-b)^(1/3)]^3；也即前者a^(1/3)-b^(1/3)小于后者(a-b)^(1/3)；

（2）、a<0,b<0,
-3a^(2/3)b^(1/3)+3a^(1/3)b^(2/3)=3a^(1/3)b^(1/3)[b^(1/3)-a^(1/3)],
如果 0>b>a,其差是正值，前者[a^(1/3)-b^(1/3)]^3 大于 后者[(a-b)^(1/3)]^3，也即前者a^(1/3)-b^(1/3)大于后者(a-b)^(1/3)；
如果 0>a>b,其差是负值，前者[a^(1/3)-b^(1/3)]^3 小于 后者[(a-b)^(1/3)]^3；也即前者a^(1/3)-b^(1/3)小于后者(a-b)^(1/3)；

Answer 2

1. 由题意，sinA=1/3,tanB=√3--->sinB=√3/2, cosC=3/4--->sinC=√7/4
√3/2=√12/4>√7/4--->B>C
√7/4=√63/12>√16/12=1/3---->C>A
∴B>C>A
2. 由题意，有：logb(1/b)<loga(1/b)<loga(b) a,b>0
由logb(1/b)<loga(1/b)--->loga(b)<1
由loga(1/b)<loga(b)----->loga(b)>0
①a,b>1，则有a>b>1
②a,b<1，则有0<a<b<1
所以答案为a>b>1或0<a<b<1,可以验证。
3. 由题意，f(3)=9a-c
-4≤a-c≤-1---->1≤c-a≤4
-1≤4a-c≤5
----->1≤c≤7---->2≤2c≤14
----->-2≤8a-2c≤10
----->-6≤9a-3c≤9
----->-4≤9a-c≤23
----->f(3)∈[-4,23]
4. 少条件吧？