Question

设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=Be^-(x+y),0<x<1,0<y<正无穷 ,求Z=max(x,y)的分布函数

Answer 1

∫∫be^[-(x+y)]dxdy=1,可得b=e/(e-1)

f(x)=∫be^[-(x+y)]dy=be^(-x),0<x<1;f(x)=0,x取其他
f(y)=∫be^[-(x+y)]dx=e^(-y),0<y<正无穷；f(y)=0,y取其他

因为f(x,y)=f(x)*f(y),所以X,Y相互独立
求U=max(x,y)
F(u)=P(U<=u)=P(max(X,Y)<=u)=P(X<=u,Y<=u)=P(X<=u)P(Y<=u)

可得U=max(x,y)的分布函数如下：
当u<=0时，F(u)=0
当0<u<1时，F(u)=b[1-e^(-u)]^2，注b=e/(e-1)
当1<=u时，F(u)=1-e^(-u)

可得U=max(x,y)的概率密度函数如下：
f(u)=2be^(-u)*[1-e^(-u)],0<u<1,注b=e/(e-1)
f(u)=e^(-u),u>=1
f(u)=0,u取其他值

解毕