Question

如图，对称轴为直线 的抛物线 与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）。 （1）求点B的坐标；

如图，对称轴为直线 的抛物线 与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）。 （1）求点B的坐标；（2）已知 ，C为抛物线与y轴的交点。①若点P在抛物线上，且 ，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。

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Answer 1

解：（1）∵A、B两点关于对称轴 对称 ，且A点的坐标为（－3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）。 （2）①∵抛物线 ，对称轴为 ，经过点A（－3，0）， ∴ ，解得 。 ∴抛物线的解析式为 。 ∴B点的坐标为（0，－3）。∴OB=1，OC=3。∴ 。 设点P的坐标为 ，则 。 ∵ ，∴ ，解得 。 当 时， ；当 时， ， ∴点P的坐标为（2，5）或（－2，－3）。 ②设直线AC的解析式为 ，将点A，C的坐标代入，得： ，解得： 。 ∴直线AC的解析式为 。 ∵点Q在线段AC上，∴设点Q的坐标为 。 又∵QD⊥x轴交抛物线于点D，∴点D的坐标为 。 ∴ 。 ∵ ，∴线段QD长度的最大值为 。

（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标。 （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到 ，设出点P 的坐标，根据 列式求解即可求得点P的坐标。 ②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为 ，从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为 ，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解。