Question

如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图（1），然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度

如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图（1），然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图（2），然后将BD、CE分别延长至M、N，使 ， ，得到图（3），请解答下列问题： （1）若AB=AC，请探究下列数量关系： ①在图（2）中，BD与CE的数量关系是_______； ②在图（3）中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN 与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k·AC（k>1），按上述操作方法，得到图（4），请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明。

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Answer 1

解：（1）①BD=CE； ②AM=AN，∠MAN=∠BAC， 理由如下： ∵在题图（1）中，DE∥BC，AB=AC， ∴AD=AE， 在题图（3）中，在△ABD与△ACE中， ∵ ∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE，∠ABD=∠ACE， 在△DAM与△EAN中， ∵ ， ，BD=CE， ∵∠AEN=∠ACE+∠CAE，∠ADM=∠ABD+∠BAD， ∴∠ADM=∠AEN， 又∵AD=AE， ∴△ADM≌△AEN， ∴AM=AN，∠ DAM=∠EAN， ∴∠MAN=∠DAE=∠BAC， ∴AM=AN，∠MAN=∠BAC； （2）AM=k·AN，∠MAN=∠BAC。