Question

已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=ax3-3bx-4a+b，其中a＞0，b∈R，（1）证明：当0≤x≤2时，函数g（x）的最

已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=ax3-3bx-4a+b，其中a＞0，b∈R，（1）证明：当0≤x≤2时，函数g（x）的最大值为|4a-3b|-2b；（2）若对任意的x1，x2∈[-2，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤16，求b的取值范围．

Answer 1

（1）证明：g′（x）=3ax²-3b（a＞0），g（0）=b-4a，g（2）=8a-6b-4a+b=4a-5b，
若b≤0，则g′（x）＞0，g（x）在[0，2]递增，g（2）最大，且为4a-5b，即为|4a-3b|-2b；
若b＞0，则g′（x）=0，x²=

b

a

，
①

b a

≥2，即b≥4a，[0，2]递减，g（0）最大，且为b-4a，也为|4a-3b|-2b；
②

b a

＜2，即b＜4a，由于g（2）-g（0）=2（4a-3b），
若4a≥3b，则g（2）最大，且为4a-5b，即为|4a-3b|-2b；
若4a＜3b，则取g（0）最大，即为b-4a，且为|4a-3b|-2b．
故当0≤x≤2时，函数g（x）的最大值为|4a-3b|-2b．
（2）解：对任意的x₁，x₂∈[-2，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤16等价为
16≥f（x）_max-f（x）_min，
①当-

b

2

∈[-2，2]，f（x）_min=-

b2

4

，f（2）=4+2b，f（-2）=4-2b，
则

0≤b≤4 16≥4+2b+ b2 4

即

?12≤b≤4 0≤b≤4

，即0≤b≤4；
或