Question

提出问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；类比探究：

提出问题：（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．
∴∠HAO+∠OAD=90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD=90°．
∴∠HAO=∠ADO．
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴AE=DH．

（2）EF=GH．
将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；

（3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴

AF

CE

＝

FH

EG

＝

FO

OE

＝

1

2

∵EC=2
∴AF=1
过F作FP⊥BC于P，
根据勾股定理得EF=

17

，
∵FH∥EG，
∴

FO

FE

＝

HO

HG

根据（2）①知EF=GH，
∴FO=HO．
∴S△FOH＝

1

2

FO2＝

1

2

×(

1

3

EF)2＝

17

18

，
S△EOG＝

1

2

EO2＝

1

2

×(

2

3

EF)2＝

68

18

，
∴阴影部分面积为

85

18

．