Question

已知函数f（x）=x2+ax+3．（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a

已知函数f（x）=x2+ax+3．（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的范围．（3）当方程|f（x）|=a的根恰有三个时，它们分别为x1，x2，x3．求此时的a，并求x1+x2+x3的值．

Answer 1

（1）f（x）≥a恒成立，
即x²+ax+3-a≥0恒成立，
必须且只需△=a²-4（3-a）≤0，
即a²+4a-12≤0，
∴-6≤a≤2．
（2）f（x）=x²+ax+3=（x+

a

2

）²+3-

a2

4

．
①当-

a

2

＜-2，即a＞4时，
f（x）_min=f（-2）=-2a+7，
由-2a+7≥a得a≤

7

3

，
∴a∈?．
②当-2≤-

a

2

≤2，即-4≤a≤4时，
f（x）_min=3-

a2

4

，
由3-

a2

4

≥a，得-6≤a≤2．
∴-4≤a≤2
③当-

a

2

＞2，即a＜-4时，
f（x）_min=f（2）=2a+7，
由2a+7≥a，得a≥-7，
∴-7≤a＜-4．
综上得a∈[-7，2]．
（3）当方程|f（x）|=a的根恰有三个时，

a2+4(a?3)＝0 a2?4(a+3)＞0

，或

a2+4(a?3)＞0 a2?4(a+3)＝0

，
解得：a=6，
函数f（x）=x²+ax+3的图象关于直线x=-3对称，
故y=|f（x）|的图象关于直线x=-3对称，
方程|f（x）|=a的根恰有三个时，它们分别为x₁，x₂，x₃．
x₁+x₂+x₃=-9