Question

已知函数f(x)＝13x3+bx2+cx(b，c∈R)，且函数f(x)在区间（-1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减

已知函数f(x)＝13x3+bx2+cx(b，c∈R)，且函数f(x)在区间（-1，1）上单调递增，在区间（1，3）上单调递减．（I）若b=-2，求c的值；（II）当x∈[-1，3]时，函数f（x）的切线的斜率最小值是-1，求b、c的值．

Answer 1

（I）由已知可得f'（1）=0，又f'（x）=x²+2bx+c
所以f'（1）=1+2b+c=0，将b=-2代入，可得c=3；
（II）令k=f'（x），则
1）若b≤-1时，k_min=f'（-1）=1-2b+c=-1
又1+2b+c=0，得b＝

1

4

（舍）
2）若-1≤-b≤3，则k_min=f'（-b）=b²-2b²+c=-1
又1+2b+c=0，得b=-2，c=3或b=0，c=-1（舍）
3）若1-b＞3，则k_min=f'（3）=9+6b+c=-1
又1+2b+c=0，得b=?

9

4

（舍）
综上所述，b=-2，c=3