Question

已知函数f（x）=x2-ax+a（a∈R） 同时满足：①函数f（x）有且只有一个零点；②在定义域内存在0＜x1＜x2，

已知函数f（x）=x2-ax+a（a∈R） 同时满足：①函数f（x）有且只有一个零点；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n） （n∈N*）（1）求f（x）和an；（2）在各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci?ci+1＜0的整数i的个数称为数列{cn}的变号数．令cn=1-4an，求数列{cn}的变号数．

Answer 1

（1）∵函数f（x）同时满足：①函数f（x）有且只有一个零点；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
∴

△＝a2?4a＝0 a 2 ＞0

，解得a=4．
∴f（x）=x²-4x+4．
Sn＝f(n)＝n2?4n+4．
当n=1时，a₁=S₁=1-4n+4=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5．
∴an＝

1，n＝1 2n?5，n≥2

．
（2）①n=1时，c1＝1?

4

a1

=1-4=-3，c2＝1?

4

a2

=1?

4

(2×2?5)

=5，此时c₁c₂＜0，因此n=1满足条件；
②n≥2时，c_n?c_n+1=(1?

4

an

)(1?

4

an+1

)=

2n?9

2n?5

?

2n?7

2n?3

＜0?（2n-3）（2n-5）（2n-7）（2n-9）＜0，n∈N^*，解得n=2，4．
综上可知：数列{c_n}的变号数是3．