Question

设A为m*n矩阵，证明：若任一个n维向量都是AX=0的解，则A=0

Answer 1

任取n个线性无关的n维列向量b1、…、bn，令B=（b1，…，bn），则B是可逆矩阵。因为Abi=0，所以AB=0，两边右乘B^（-1），可得A=0。

追问

是n维行向量吧

追答

是n维列向量，n维列向量是一个nx1阶矩阵，A与它相乘有意义。（n维行向量是1xn矩阵，除非A的列数等于1，否则无意义。）

追问

取n个列向量的向量组是一个行向量、这样相乘才会没意义啊

追答

B=（b1，…，bn）相当于把矩阵B按列分块

B是一个nxn矩阵

A是一个mxn矩阵，A的列数与B的行数相同，相乘有意义

追问

A(b1,b2)=(Ab1,Ab2)?

追答

这不就是分块矩阵的乘法吗？如果实在不理解，就把AB的结果直接写出来，与（Ab1，Ab2）是相同的

追问

前面那里明白了，不过A和b1怎么相乘呢？

追答

A是mxn矩阵，b1是nx1矩阵，怎么不能相乘呢？

追问

最后结果虽然一样。。不过不是说矩阵分块后相乘的条件是前一矩阵的列分法要和后一矩阵的行分法相同吗？

追答

把A整个看成一个块阵也就是看成1x1阶矩阵，B=（b1，…，bn），每一个bi是一个块阵，那么B可以看作是一个1xn阶矩阵，满足前一个矩阵的列分法与后一个矩阵的行分法相同

追问

谢谢～

不过这个题，直接取非零n维列向量B，则AB=0，再直接同时乘B的逆不就好了

追答

B的列向量如果线性相关B是不可逆的

追问

选非零的不就好了？

追答

非零的就能保证可逆吗？

追问

矩阵可逆的充要条件不就是其行列式非零么？

追答

这n个列向量都不是零向量也没法儿保证行列式不为0
矩阵可逆《=》矩阵的列向量组线性无关

追问

哦懂了，谢谢

Answer 2

设向量N=（b1,b2,b3,........,bn）T
假设A不等于0，
则至少存在一个aij不等于0
因为任何n维向量都是方程解，
不妨设Nj=（0,0,0...bj...0），bj不等于0
所以当矩阵A的第i行与向量Nj相乘时得到
（0,0,0,.....aijbj......0）
所以aijbj不等于0，与AX=0矛盾。所以A=0

追问

那么对于这种带有任意性的题，证明方法就是取一个比较好证明的然后推出结论就可以了吗？

追答

差不多吧，肯定把问题简单化比较好解决

追问

也非常感谢你的解答～