Question

在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．（1）判断△ABC的形状；（2）在上述△ABC中，若角C的对边c=1

在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．（1）判断△ABC的形状；（2）在上述△ABC中，若角C的对边c=1，求该三角形内切圆半径的取值范围．

Answer 1

（1）根据正弦定理，原式可变形为：c（cosA+cosB）=a+b①， ∵根据任意三角形射影定理得：a=b?cosC+c?cosB，b=c?cosA+a?cosC， ∴a+b=c（cosA+cosB）+cosC（a+b）②， 由于a+b≠0，故由①式、②式得：cosC=0， ∴在△ABC中，∠C=90°， 则△ABC为直角三角形； （2）∵c=1，sinC=1，∴由正弦定理得：外接圆半径R= c 2sinC = 1 2 ， ∴ a sinA = b sinB = c sinC =2R=1，即a=sinA，b=sinB， ∵sin（A+ π 4 ）≤1， ∴内切圆半径r= 1 2 （a+b-c）= 1 2 （sinA+sinB-1）= 1 2 （sinA+sinB）- 1 2 = 2 2 sin（A+ π 4 ）- 1 2 ≤ 2 -1 2 ， ∴内切圆半径的取值范围是（0， 2 -1 2 ]．