Question

（2013?龙岗区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，

（2013?龙岗区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若BC=6，AD=4，求sinA的值．

Answer 1

（1）证明：连结OE．
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∵∠ACB=90°即BC⊥AC，
∴OE∥BC
∴∠OED=∠F．
又∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠ODE=∠F
∴BD=BF；

（2）解：设⊙O半径为r，由（1）知，OE∥BC得△AOE∽△ABC．
∴

AO

AB

＝

OE

BC

，即

r+4

2r+4

＝

r

6

，
∴r²-r-12=0，
解之得r₁=4，r₂=-3（舍去）．
在Rt△AOE中，
∴sinA=

OE

AO

＝

4

4+4

＝

1

2

．