Question

已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-a）．（1）当a=4时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x

已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-a）．（1）当a=4时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≤1的解集不是空集，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=4时，f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-4）．
若使函数的解析式有意义，自变量x须满足：|x+1|+|x-2|-4＞0，…①
当x＜-1时，①可化为：-2x-3＞0，解得x＜-

3

2

，
∴x＜-

3

2

；
当-1≤x≤2时，①可化为：-1＞0，恒不成立，
∴不存在满足条件的x值；
当x＞2时，①可化为：2x-5＞0，解得x＞

5

2

，
∴x＞

5

2

，
综上所述，x＜-

3

2

，或x＞

5

2

，
故当a=4时，求函数f（x）的定义域为（-∞，-

3

2

）∪（

5

2

，+∞）；
（2）若不等式f（x）≤1的解集不是空集，
则0＜|x+1|+|x-2|-a≤2的解集不是空集，
即a＜|x+1|+|x-2|≤2+a的解集不是空集，
∵|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|（x+1）+（2-x）|=3，
故3≤2+a，
解得：a≥1，
即a的取值范围为[1，+∞）．