Question

设f（t）连续并满足f（t）=cos2t+∫t0f（s）sinsds，求f（t）

设f（t）连续并满足f（t）=cos2t+∫t0f（s）sinsds，求f（t）．

Answer 1

∵f（t）=cos2t+

∫

t 0

f（s）sinsds两边对t求导，得
f'（t）=-2sin2t+f（t）sint
即：f'（t）-f（t）sint=-2sin2t
这是一阶非齐次线性微分方程，其中P（t）=sint，Q（t）=-2sin2t
∴f（t）=e^{-∫P（t）dt}（∫Q（t）e^{∫P（t）dt}dt+C）=e^∫sintdt（-∫2sin2te^-∫sintdtdt+C）
=e^-cost（-∫2sin2te^costdt+C）
=e^-cost[4（cost-1）e^cost+C]
=4（cost-1）+Ce^-cost，其中C为常数．

Answer 2

引用祏谾膠的回答：
∵f（t）=cos2t+∫t0f（s）sinsds两边对t求导，得f'（t）=-2sin2t+f（t）sint即：f'（t）-f（t）sint=-2sin2t这是一阶非齐次线性微分方程，其中P（t）=sint，Q（t）=-2sin2t∴f（t）=e-∫P（t）dt（∫Q（t）e∫P（t）dtdt+C）=e∫sintdt（-∫2sin2te-∫sintdtdt+C）=e-cost（-∫2sin2tecostdt+C）=e-cost[4（cost-1）ecost+C]=4（cost-1）+Ce-cost，其中C为常数．

楼上回答有点毛病啊，少了一个关键点，题目只说了f（x）连续，没有说f（x）可导，还得证f（x）可导，也就是cos2t可导，后面的也可导，所以f（x）也可导