Question

已知函数F(x)＝∫x0ln(1+t2)dtxα，设limx→+∞F(x)＝limx→0+F(x)＝0，试求α的取值范围

已知函数F(x)＝∫x0ln(1+t2)dtxα，设limx→+∞F(x)＝limx→0+F(x)＝0，试求α的取值范围．

Answer 1

当a≤0，

lim

x→+∞

F(x)＝+∞，所以结论不正确
当a＞0，

lim

x→+∞

∫ x 0 ln(1+t2)dt

xa

＝

lim

x→+∞

ln(1+x2)

axa?1

＝

lim

x→+∞

2x

1+x2

1

a(a?1)x(a?2)

＝0，得a＞1（∵2+a-2＞1），
又∵

lim

x→+∞

∫ x 0 ln(1+t2)dt

xa

＝

lim

x→0+

ln(1+x2)

axa?1

＝

lim

x→0+

x2

axa?1

＝0，
∴2＞a-1，
即 a＜3
综上所述：1＜a＜3