Question

如图，△PBD中，∠DPB=90°，O为PD上一点，以OD为半径作⊙O分别交BD、PD于A、C，连PA，若∠PAC=∠D．（1

如图，△PBD中，∠DPB=90°，O为PD上一点，以OD为半径作⊙O分别交BD、PD于A、C，连PA，若∠PAC=∠D．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若AD：AB=2：3，求tan∠APC的值．

Answer 1

（1）∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
又∵∠PAC=∠D，
∴∠PAC+∠OAC=∠D+∠OCA，
∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠D+∠OCA=90°，
∴∠PAC+∠OAC=90°，
即∠OAP=90°，
∴AP是⊙O的切线；

（2）∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠CAM=90°，
∴∠PAM+∠PAC=90°，
又∵∠BPD=90°，
∴∠D+∠B=90°，
又∵∠PAC=∠D，
∴∠B=∠PAB，
∴PA=PB，

作PM⊥AB，设AD=2x，AB=3x，
∴AM=BM=

3

2

x，
∵∠CAD=∠PMD=90°，
∴AC∥PM，
∴CD：PD=DA：DM=4：7，
∴若CD=4a，DP=7a，那么OC=OA=2a，CP=3a，
∴OP=OC+CP=5a，
∴AP=

OP2?OA2

=

21

a，
∴tan∠APC=

OA

AP

=

2 21

21

．