Question

若定义在区间[-2014，2014]上的函数，f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[-2014，2014]，都有f（x1+x2）=f（

若定义在区间[-2014，2014]上的函数，f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[-2014，2014]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2012，且x＞0时，有f（x）＞2012，若f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（　　）A．4024B．2013C．2012D．4026

Answer 1

∵对于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，
都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2012，
∴f（x₂-x₁）＞2012，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）-2012
=f（x₂-x₁）-2012＞0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在区间[-2014，2014]上单调递增，
∴M=f（2014），N=f（-2014），
∵对于任意的x₁，x₂∈[-2014，2014]，
∴f（0）=2f（0）-2012，即f（0）=2012，
∴f（x-x）=f（x）+f（-x）-2012
即f（x）+f（-x）-2012=f（0），
f（x）+f（-x）=4024
∴M+N的值为4024，
故选：A