Question

a+1/b=b+1/c=c+1/a，且a,b,c互不相等,求证a^2b^2c^2=1

a+1/b=b+1/c=c+1/a，且a,b,c互不相等,求证a^2b^2c^2=1

Answer 1

证明：令a+1/b=b+1/c=c+1/a=k，
所以去分母得：ab+1=bk，bc+1=ck，ac+1=ak，∴ bc=ck-1；
在“ab+1=bk”两边同乘以c得：abc+c=bck=(ck-1)*k=k^2c-k，
∴abc+k=（k^2-1)c ；
同理可得：abc+k=(k^2-1)b ；
abc+k=(k^2-1)a ；
∴abc+k=(k^2-1)a=(k^2-1)b=(k^2-1)c ，
∵a,b,c互不相等 ，所以只有挡k^2-1=0时，才符合题意，k^2=1；
∴abc+k=0，abc=-k ；
∴a^2b^2c^2=(abc)^2=（-k）^2=k^2=1

Answer 2

在网上找的答案
证明：令a+1/b=b+1/c=c+1/a=k，
所以去分母得：ab+1=bk，bc+1=ck，ac+1=ak，∴ bc=ck-1；
在“ab+1=bk”两边同乘以c得：abc+c=bck=(ck-1)*k=（k^2）c-k，
∴abc+k=（k^2-1)c ；
同理可得：abc+k=(k^2-1)b ；
abc+k=(k^2-1)a ；
∴abc+k=(k^2-1)a=(k^2-1)b=(k^2-1)c ，
∵a,b,c互不相等 ，所以只有当k^2-1=0时，才符合题意，k^2=1；
∴abc+k=0，abc=-k ；
∴a^2b^2c^2=(abc)^2=（-k）^2=k^2=1