Question

证明两题：设A和B均为n阶非零矩阵，且满足A^2+A=0,B^2+B=0,AB=BA=0,（1）证明入＝负1必是A，B的特征值。

（2）证明若a1,a2分别是A，B对应的特征值入＝负1的特征向量，则a1,a2线性无关。求求大神帮忙了。
我在提高一点悬赏，才注册的，请高手们多包函。

Answer 1

(1)证明：A²+A=0，A（A+E）=0，若r（A+E）=n，等式两端右乘(A+E)-1，得A=0，与已知A为n阶非零矩阵矛盾。所以r（A+E）＜n，即|A+E|=0，那么根据特征方程|λE-A|=0知，-1必是A的特征值。
同理 -1必是B的特征值。
【评注】
本题是利用秩来解答，根据特征值计算公式得出结论。
若r（λE-A）＜n，则|λE-A|=0，若|λE-A|=0，则r（λE-A）＜n
若| λE-A| = 0，此时λ就是A的特征值。

(2)设 k1α1+k2α2 = 0 ①
已知 Aα1=-α1，Bα2=-α2，
①两端左乘A，得
-k1α1+k2Aα2 = 0 ②
②两端左乘B，根据BA= 0 得
-k1Bα1 = 0 ③
再之，①两端左乘B，得
k1Bα1 - k2α2 = 0 ④
③代入④，得 k2α2 = 0，由于α2非零，那么k2 = 0，同理，k1 =0
所以①中k1=k2=0，α1，α2线性无关。

【评注】
线性无关定义：若等式 k1α1+k2α2+...+ksαs=0 ，k1，k2，...，ks只能取 0，则α1，α2，...，αs线性无关。

newmanhero 2015年3月14日22:29:53

希望对你有所帮助，望采纳。