Question

高二数学双曲线题

点F1、F2分别是双曲线x^2-y^2=1的两个焦点，圆O以线段F1F2为直径，直线l与圆O相切，与双曲线相交于A、B两点，定点C的坐标是(0,-2)，已知三角形ABC的面积为根号10，求直线l在y轴上的截距。。。求过程。。。

Answer 1

解：圆O方程为x^2+y^2=2，令切点P坐标为(x0,y0)，则切线方程为x0x+y0y=2。又设A、B两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)。
联立双曲线方程和切线方程消去y化简得：(x0^2-y0^2)x^2-4x0x+(y0^2+4)=0。
由Vieta定理知x1+x2=4x0/(x0^2-y0^2)，x1x2=(y0^2+4)/(x0^2-y0^2)。
AB长度|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]，A、B也在切线上，代入切线方程消去x1、x2化简得：|AB|=2√(2y0^2+1)/(1-y0^2)
点C到切线AB的距离为h=|0*x0+(-2)*y0-2|/√(x0^2+y0^2)=√2(1+y0)
因为S△ABC=1/2*|AB|*h=10，代入上面求得数据有1/2*2√(2y0^2+1)/(1-y0^2)*√2(1+y0)=10，化简得：3y0^2-10y0+4=0。得：y0=(5±√13)/3。
直线I在y轴上的截距即x=0时，切线方程y的值。
所以当y0=(5+√13)/3时，截距y=2/y0=(5-√13)/2；当y0=(5-√13)/3时，截距y=2/y0=(5+√13)/2。