Question

已知a>0,b>0,a+b=1,则(a+1/a)的平方+(b+1/b)的平方的最小值是多少? 有过程奖分。

两位的答案都不准确
题目中的条件不是((a+1/a)+(b+1/b))的平方
题目中的条件是(a+1/a)²+(b+1/b)²

Answer 1

12.5
你说的用柯西不等式，我水平较低，只能将其与函数两者参半，不能全用，你别介意啊
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥2(a+1/a)(b+1/b)(a=b,或ab=1时成立）≥2[√（ab）＋1/√（ab）]^2（a/b=b/a时，等式成立)
由此等当a=b时，整个等式同时成立
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥2[√（ab）＋1/√（ab）]^2=4+ab+1/(ab)
令ab=t,则t=x(1-x),由题意知0＜t＜1
y=t+1/t,其图像关于x=1对称，且越靠近1，y值越小
故t（0＜t＜1）越大值越小
x（1-x）≤（x+1-x)^2/4,此时a=b=1/2满足上式中的附加条件
∴x=1/2时，取最小值

Answer 2

∵a≥0，b≥0，
∴{√[a+(1/2)] + √[b+(1/2)] }²
={√[a+(1/2)]}²+2√[a+(1/2)] × √[b+(1/2)] +{√[b+(1/2)]}²
=a+(1/2)+2√[ab+(1/2)（a+b）+（1/2)²]+b+1/2
=a+b+1+2√[ab+(1/2)(a+b)+(1/4)]

∵a+b=1
∴{√[a+(1/2)] + √[b+(1/2)] }²
=a+b+1+2√[ab+(1/2)(a+b)+(1/4)]
=1+1+2√[ab+(1/2)+(1/4)]
=2+2√[ab+(3/4)]

∵a+b≥2√ab
∴√ab≤（a+b）/2
∴√ab≤1/2， 当且仅当a=b=1/2是等号成立，
∴ab≤1/4
∴{√[a+(1/2)] + √[b+(1/2)] }²
=2+2√[ab+(3/4)]
≤2+2√[(1/4)+(3/4）]
=2+2
=4
即 {√[a+(1/2)] + √[b+(1/2)] }²≤4，，
当且仅当a=1/2且b=1/2时等号成立
∴0≤√[a+(1/2)] + √[b+(1/2)] ≤2，

又∵a≥0，b≥0，
∴a+1/2≥1/2,b+1/2≥1/2,
∴√[a+(1/2)] ≥（√2）/2 , √[b+(1/2)] ≥（√2）/2
∴√[a+(1/2)] + √[b+(1/2)] ≥√2，

综上所述，√2≤√[a+(1/2)] + √[b+(1/2)] ≤2，

Answer 3

6