Question

高二数学椭圆题

直线y=1-x与椭圆mx^2+ny^2=1(m>0.n>0.m不等于n)交于A.B两点，M为AB的中点，|AB|=2倍跟号2，O为原点，OM的斜率为跟号2比2，求该椭圆方程。

Answer 1

m=1/3, n=(gen2)/3
注：为直观表示，沿用lz对根号的表述方法，根号2=（gen2）：

思路：1 确定M点坐标；2 确定A、B两点坐标；3 代入椭圆方程求得m、n。

解法：
1 点M为直线OM：y=[(gen2)/2]x和直线y=1-x的交点，联立可得：
x(M)=2-(gen2),y(M)=-1+(gen2).

2 点M为A，B中点,则
x(A)+x(B)=2x(M)
而|AB|=2(gen2)，故
[y(A)-y(B)]^2+[x(A)-x(B)]^2=[2(gen2)]^2
又 A、B在直线y=1-x上，从而
y(A)-y(B)=[1-x(A)]-[1-x(B)]=x(B)-x(A)
联立以上三式可得：
x(A)=3-(gen2),y(A)=(gen2)-2;
x(B)=1-(gen2),y(B)=gen2.

3 已知A、B点在椭圆mx^2+ny^2=1(m>0.n>0.m不等于n)上，所以将A、B点坐标代入椭圆方程即可解得m，n值。