Question

一道高中数学题.

已知函数f(x)=m[x+(1/x)]－2的图像与函数h(x)=1/4[x+(1/x)]+2的图像关于原点对称。（1）求m的值；（2）若g(x)=f(x)+(a/4x)，求g(x)在区间[1,2]上的最小值。
求详细过程.

Answer 1

1，由f(x)=-h(-x)恒成立求得m=1/4
2，g(x)=1/4[x+(1+a)/x]-2
当a<-1时，画出大致图像知在[1,2]上为递增，最小值为g(1)=a/4-3/2
当a=-1时 g(x)=x/4-2 最小值为g(1)=-7/4
当a>-1时，g(x)在x正半轴最小值为x=√(1+a)时的值，在此基础上讨论：
√(1+a)<1即a∈(-1,0)时，g(1)最小；
1≤√(1+a)≤2即a∈[0,3]时，g[√(1+a)]最小；
a∈(3,+∞）时，g(2)最小
这里用到了函数y=x+a/x的最小值：当x=a/x即x=√a时有最小值