Question

在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行BC，设MN交角BCA的角平分线于点E，交角BCA的外角

于点F求证EO=FO (2):当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
快点，很急的，这是今天的作业

Answer 1

1因为已知CE平分∠BCA，所以∠BCE=∠ECA，因为MN//BC，所以∠BCE=∠CEO，所以∠CEO=∠ECA，所以EO=CO，因为CF平分∠OCI，所以∠OCF=∠FCI，因为MN//BC，所以∠OFC=∠FCI，所以∠OFC=∠OCF，所以CO=FO，所以EO=FO
2当点O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形
因为由上题以证明EO=FO，若o运动到AC中点 则AO=CO，则AC、EF互相平分，则四边形AECF为平行四边形，因为已知CF平分∠OCI，CE平分∠BCA，所以∠BCE=∠ECO，∠OCF=∠FCI，所以∠ECO+∠OCF=∠BCE+∠FCI，因为∠BCI=180°，所以∠ECO+∠OCF=90°，所以平行四边形AECF为矩形

Answer 2

证明：（1）∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。

∴∠ECO = ∠BCE，∠DCF = ∠OCF

又∵直线MN ‖BC，

∴∠BCE = ∠CEO，∠DCF = ∠CFO

∴∠ECO = ∠CEO，∠CFO = ∠OCF

∴EO = CO，CO = FO

∴ EO = FO

（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，

证明：当EO = FO时，O为EF的中点，

而当O为AC的中点时，说明四边形AECF是平行四边形

由（1）可知CO =EF，而CO =AC

∴EF = AC，所以四边形AECF是矩形。

（3）当点O运动到AC中点且∠ACB = 90°，四边形AECF是正方形。

证明：当∠ACB = 90°，∠CEO = ∠CFO = 45°

∴EC = CF，而当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形

∴四边形AECF是正方形。

Answer 3

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