Question

F1，F2分别是椭圆x²/4+y²=1的左右焦点，若P是该椭圆上的一动点，求向量pf1·pf2的最大值和最小

Answer 1

x²/4+y²=1的左右焦点坐标分别是F1(-√3,0)，F2(√3,0).
设P(x,y)，
PF1•PF2=(-√3-x,-y)•(√3-x,-y)=x²-3+y²
因为x²/4+y²=1，所以y²=1- x²/4，
PF1•PF2= x²-3+1- x²/4=-2+ 3x²/4
而-2≤x≤2,则0≤3x²/4≤3
∴PF1•PF2的最小值是-2，最大值是1

Answer 2

PF1 *PF2 =(-(根号3)-x,-y)点乘((根号3)-x,-y)=x^2-3+y^2 =x^2+y^2-3 (1)
现求(1)式,在条件x²/4+y²=1 (2) 之下的最大,最小值.
由条件(2)得
PF1 *PF2 =x^2+y^2-3 =x^2+[1-(1/4)x^2]-3=(3/4)x^2-2
由于:0<=x^2<=4
故: -2<=(3/4)x^2-2<=1,
知:x=2, 或x=-2时,即在点(-2,0) (2,0) PF1 *PF2 取得最大值:1
x=0时,即在点(0,1) (0,-1) PF1 *PF2 取得最小值:-2.