Question

以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD：DB=2：3，且AB=10，则CB的长为（

Answer 1

过D作DM垂直BC，交BC于点N，弧于点M
过O作OP垂直DM
AD／DB=2/3，且AB=10，
AD=4，DO=1，BO=5
设DP=x，则PN=5x，NM=6x
延长MD交弧于点E
ME=2（PN+MN）=22x
DE=ME-DM=10x 相交弦定理
DE*DM=AD*BD
（6x+5x+x）（6x+5x-x）=AD*BD
x=√5/5 AC=2√5
BC=4√5

Answer 2

设D点在弧BC上的对称点是E，圆心为O,
连接AE，BE,BC,OC,DC,AC，设AE和OC交与F
AB是直径，因此<ACB=<AED=90
BC为对称轴，
所以：CD=CE，BE=BD
AB=10，AD：DB=2：3，
所以：BE=BD=6，AO=BO=OC=5
所以：AE=根号（10^2-6^2）=8
又因为：<CAE=<CBE=<CBA=<CEA,
所以：AC=CE=CD
所以：OC垂直平分AE,所以AF=AE/2=4
则有：DF=根号(AO^2-AF^2)=3
所以：CF=5-3=2
所以：AC^2=AF^2+CF^2=20
所以：BC=根号(AB^2-AC^2)=根号(100-20)=4√5

Answer 3

过D作DM垂直BC，交BC于点N，弧于点M
过O作OP垂直DM
AD／DB=2/3，且AB=10，
AD=4，DO=1，BO=5
设DP=x，则PN=5x，NM=6x
延长MD交弧于点E
ME=2（PN+MN）=22x
DE=ME-DM=10x 相交弦定理
DE*DM=AD*BD
（6x+5x+x）（6x+5x-x）=AD*BD
x=√5/5 AC=2√5
BC=4√5

Answer 4

这个方法是最简单的了
连接CD、AC，过C向AB做垂线，交AB于E点
∵角CAB和角CDB所对的弧恰好是一个整圆
∴角CAB+角CDB=180°
又∵角ADC+角CDB=180°
∴角CAB=角ADC
∴CE垂直平分AD
∴DE=AE=2
∵△ACE∽△CBE
∴2/x=x/8 x=4
在△BCE中，BC²=8²+4²
BC=4√5

Answer 5

若ADDB=
23，且AB=10，
∴AD=4，BD=6，
作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，
可得A、C、A′三点共线，
∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，
∴AB=A′B，
∴AC=A′C，AD=A′D′=4，A′B=AB=10．
而A′C•A′A=A′D′•A′B，即A′C•2A′C=4×10=40．
则A′C2=20，
又∵A′C2=A′B2-CB2，
∴20=100-CB2，
∴CB=45．
故选A．