Question

两个数学题求解,

1\求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程
2\已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆X^2+y^2=1上的动点.连接BC并延长至D.使得CD的绝对值=BC的绝对值.求AC与OD的交点P的轨迹方程

Answer 1

1. 设圆心为（a，b），半径为R，则圆方程为(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

交x轴y=0,得到x^2-2ax+a^2+.....=0;所以x1+x2=2a
交y轴x=0,得到y^2-2bx+b^2+.....=0;所以y1+y2=2b

则截距之和为 x1+x2+y1+y2 = 2b+2a = 2

另外 (a-4)^2+(b-2)^2=(a+1)^2+(b-3)^2 得到5a-b-5=0

两式联合得到a=1, b=0 半径R=根号13

所以圆的轨迹为(x-1)^2+y^2=13

2. 设C点为（x0,y0) 得到 D点位(2 x0 -1,2 y0)
AC和OD是中线，所以交点是重心，交点坐标是三个顶点坐标和的三分之一，
所以交点p的坐标是(x,y)=(2 x0 -1,2 y0)/3

(x0,y0)=（(3x+1)/2 , 3y/2)带入圆的方程，得到P的轨迹方程式
(3x+1)^2+9y^2=4

Answer 2

lenovo328 14:57:32
第一题，设这四个点（a，0）（b，0）（0，c）（0，d）
lenovo328 14:58:31
然后 根据 圆心 在线段AB的垂直平分线上，
lenovo328 14:59:27
设出圆心（因为在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标中有一个 未知数）
lenovo328 15:00:22
根据 圆心到 各点 距离 等于半径（即到各点相等）得 4个 方程组
lenovo328 15:00:47
然后 根据 截距之和 为2 列一个
lenovo328 15:01:04
解 方程组 得 结果

第二题，交点p为 三角形abd的中线交点，ab=ad
设C点为（x0,y0) 得到 D点位(2 x0 -1,2 y0)
AC和OD是中线，所以交点是重心，交点坐标是三个顶点坐标和的三分之一，
所以交点p的坐标是(x,y)=(2 x0 -1,2 y0)/3

(x0,y0)=（(3x+1)/2 , 3y/2)带入圆的方程，得到P的轨迹方程式
(3x+1)^2+9y^2=4