Question

高一数学，函数奇偶性

已知函数f （x）的定义域是 { x | x 属于R ，且 x不等于0 } ，对定义域内的任意 x1，x2 都有f（x1 * x2）=f（x1）+f（x2），且，当x>1时，f（x）>0,f(2)=1.求证：

（1）f（x）是偶函数
（2）f（x）在（0，+无穷）上是增函数

x1，1是角标，不是次方

万分感谢

Answer 1

（1）证明：首先f(1)=0;这不用说了吧
f(2*2)=f(-2*-2)=2f(2)=2
=2f(-2);
f(-2)=1;则 f(-2*-1)=f(-2)+f(-1)=1;
∴f(-1)=0;
f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x);
证毕；
（2）证明：
设n>1;则
f(x*n)=f(x)+f(n)
f(x*n)-f(x)=f(n);
∵n>1
∴f(n)>0;x*n>x(当x>0时成立)；
∴f(x*n)-f(x)>0
这就证明了当x>0时，函数f(x)是恒增的；

谢谢！