Question

一道高中数学题，麻烦告下

设f(x)=(ax^2+bx)^1/2,求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同
答案是-4和0，求高手解答

Answer 1

a=0是平凡解，因为这样的话，根号里面就是一个一次多项式，只要b不为零，那么值域就是正半轴，定义域在b为正数时，也为正半轴。
a不为零的时候，根式里面是一个二次式ax^2+bx，ax^2+bx=0的两个根为0，-b/a
观察ax^2+bx形成的抛物线的形状
如果a>0,开口向上，定义域中包括了x<0的一部分数值，（特别的，当b<0时，定义域为负无穷到零，-b/a到正无穷两部分，故与值域为正半轴不一致）故抛弃，
如果a<0,开口向下,定义域的两个端点为0，-b/a,同时值域为[0，|b/2|/√|a|
如果上式成立，要求a=2√|a|否则只能有b=0一个解，与题设矛盾。
此时有a=-4
证毕