Question

空间解析几何:(a,b,c为向量,x为叉乘,*为点乘) 已知(axb)*c=1，则(a+b)x(b+c)*(c+a)= 2? 为何等于2？

Answer 1

以下 X 表示叉乘, ..表示点乘.
(a,b,c)表示a,b,c的混合积, 即(a,b,c)=(aXb)..c .

= = = = = = = = =
解：因为 (a+b)X(b+c)=aXb+aXc+bXb+bXc
=aXb+aXc+bXc,
所以 (a+b)X(b+c)..(c+a)
=(aXb+aXc+bXc)..(c+a)
=(a,b,c)+(a,b,a)+(a,c,c)+(a,c,a)+(b,c,c)+(b,c,a).
因为 (aXb) 垂直于a,
所以 (a,b,a)=(aXb)*a=0,
同理, (a,c,c)=(a,c,a)=(b,c,c)=0.
又因为 (a,b,c)=1,
所以 (b,c,a)=(a,b,c)=1.
所以 (a+b)x(b+c)..(c+a) =2.

= = = = = = = = =
说明：
(1) aXa=0.
(2) aXb 垂直于a, aXb 垂直于b.
(3) 这题也可以直接用混合积的性质：
a. 调换两个的位置，负号.
(a,b,c)= -(b,a,c), (a,b,c)= -(a,c,b), (a,b,c)= -(c,b,a).
b. 把头放到尾，或把尾放到头，重排列，正号.
(a,b,c)= (c,a,b), (a,b,c)= (b,c,a).
所以
(a,b,c)+(a,b,a)+(a,c,c)+(a,c,a)+(b,c,c)+(b,c,a)
=(a,b,c) -(a,a,b) -(c,c,a) -(a,a,c) -(c,c,b) +(a,b,c)
=2(a,b,c) -0..b -0..a -0..c -0..b
=2.

Answer 2

利用性质a×a=0,a×b=-b×a,a*(b×c)=c*(a×b)=b*(c×a)
a*(b×c)=(a×b)*c,则
(a+b)x(b+c)*(c+a)= (a×b+a×c+b×b+b×c)*(c+a)
=(a×b)*c+(a×b)*a+(a×c)*c+(a×c)*a+(b×c)*c+(b×c)*a
=1+b*(a×a)+a*(c×c)+(a×a)*c+b*(c×c)+(a×b)*c
=1+1=2