Question

用极限的定义证明lima^n/n!=0(n→∞)

用定义(因为只学到这左右),就是任给V存在E,当n>M时, ｜a^n/n!｜<V
别复制,我都找过了,

Answer 1

由于必然存在N1，使得n>=N1时，n>|a|,所以我们可以只看N1后面的项(注意到a给定时，这个N1是常数)

当n>N1时，

|a^n/n!| = |a/1| * ....|a/N1| * |a/(N1+1)| * ...|a/n|
<|a|/1 * ....|a|/N1 *|a|^(n-N1)/n^(n-N1)

令|a|/1 * ....|a|/N1 =M

有|a^n/n!| <M * |a|^(n-N1)/n^(n-N1) < M * |a|^(n-N1)/N1^(n-N1) = (|a|/N1)^(n-N1)

所以任给ε>0,取N= N1+log(|a|/N1)ε/M (N1加上以a/N1为底,ε/M的对数)，这样，当n>N时有
|a^n/n!|<M(|a|/N1)^(n-N1)
<=M(|a|/N1)^(N-N1)=ε

从而得证

Answer 2

令a^n/n! =y，则：
n!=a^n/y，两边开n次根，得
(n!)^(1/n)=a/y^(1/n)，两边同除以n，得
(n!)^(1/n)/n=a/ny^(1/n)，两边取对数，得
1/n[ln(1/n)+ln(2/n)+...+ln(n/n)]=ln(a/ny^(1/n))，左边即为∫(0到1) lnx dx = -1，得：
-1=ln(a/ny^(1/n))
a/ny^(1/n)=1/e
所以y^(1/n)=ae/n
y=(ae/n)^n
所以当n趋向于无穷大时，ae/n->0.
所以y->0
所以lima^n/n!=0(n→无穷大) 得证