Question

数学分析问题求教

f(0)=0 f 在[0,1]可导, f '为增函数, g(x)=f(x)/x 求证g(x)在(0,1]为增函数

Answer 1

证明：
对任意的x1≤x2∈(0,1],由Lagrange中值定理知,
f(x1)-f(0)=f'(ξ)x1, ξ∈(0,x1)
f(x2)-f(x1)=f'(η)(x2-x1) ,η∈(x1,x2)
由f'为增函数知，于是
f(x1)/x1=f'(ξ)≤f'(η)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1),
整理即得g(x1)≤g(x2). 证毕。